TEOREMA DEL CAMPIONAMENTO DI SHANNON

Il teorema del campionamento di Shannon è uno strumento indispensabile nella trasmissione dei segnali discretizzati, come per esempio le modulazioni PAM e PCM.
Esso determina quale deve essere il limite minimo della frequenza con la quale viene campionato il segnale da trasmettere, che deve però essere a BANDA LIMITATA, affinchè questo possa essere ricostruito integralmente in ricezione.
Esistono quattro versioni di questo teorema, a seconda delle caratteristiche del segnale da trasmettere e del processo di campionamento:

Per campionamento ideale si intende quello effettuato attraverso un treno di delte di Dirac, mentre il campionamento reale è quello effettuato attraverso un treno di onde rettangolari.
Gli algoritmi DFT ed FFT sono basati sul processo di campionamento ideale, in quanto è l'unico in grado di rilevare ISTANTANEAMENTE il segnale ed inoltre assicura anche una maggiore semplicità degli algoritmi stessi.
Inoltre nell'introduzione è stata espressa l'intenzione di lavorare su segnali periodici, pertanto verrà trattato il primo caso, tra i quattro sopra elencati.


ENUNCIATO DEL TEOREMA: un segnale V(t) periodico ed a banda limitata, può essere ricostruito quando si conoscono i valori dei suoi campioni ottenuti in corrispondenza degli istanti K.Tc (con K intero) e quando la frequenza di campionamento (pari ad 1/Tc) è maggiore od almeno uguale al doppio della massima frequenza contenuta nello spettro del segnale originale V(t).

DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA: cominciamo con il considerare un segnale da campionare V(t) costituito da una sola cosinusoide.
Moltiplicandolo per un treno periodico di delte di Dirac otteniamo quindi il segnale campionato Vc(t).
Però, grazie all'esempio della precedente sezione, conosciamo già lo spettro del treno di impulsi.
Pertanto possiamo esprimere il segnale campionato come il prodotto tra una cosinusoide (che rappresenta il segnale originale) ed una componente continua, aggiunta ad una serie di cosinusoidi (che rappresentano il treno di impulsi).
Distribuendo il prodotto rispetto alla componente continua ed alla serie ed utilizzando le formule di Werner per ognuno dei termini, si ottiene la seguente espressione per il segnale campionato:

Come si può osservare, nello spettro del segnale campionato compaiono delle armoniche spurie, definite alias, che sono assenti nel segnale originale.
Questi alias hanno frequenze pari ad n.fc&plusmnf, dove n rappresenta l'ordine delle armoniche del segnale originale, fc la frequenza di campionamento ed f quella del segnale campionato.
E' inoltre importante osservare che nello spettro del segnale campionato permane lo spettro del segnale originario, seppur attenuato del fattore 1/Tc.
Infatti è qui rimasta un'armonica avente la stessa frequenza del segnale di partenza, che è stata determinata dal prodotto di V(t) con la componente continua del treno di impulsi.
Ora, per concludere la dimostrazione del teorema, basta considerare un segnale V(t) costituito da un numero finito di armoniche e ripetere i conti precedenti per ciascuna di esse.
Dato un V(t) che presenti, per esempio, il seguente spettro:

allora, in base alle considerazioni precedenti, possiamo affermare che il segnale campionato Vc(t) presenta il seguente spettro:

dove fmax rappresenta la frequenza massima presente all'interno del segnale V(t).

Quindi lo spettro del segnale campionato contiene una successione di alias di frequenza crescente e che possono interferire tra di loro (ovvero sovrapporsi parzialmente) se la frequenza di campionamento è troppo bassa.
Anche in questo caso inoltre permane lo spettro del segnale V(t) all'interno di quello del segnale Vc(t), anche se attenuato del fattore 1/Tc, comportato dal prodotto con la componente continua del treno d'impulsi.
Solamente nel caso in cui il primo alias (ovvero quello centrato attorno alla fc) non si sovrapponga allo spettro di V(t) è possibile ricostruire il segnale originale.
In altri termini, tale ricostruzione è possibile solamente quando la frequenza più bassa del primo alias (ovvero fc-fmax) è maggiore od al più uguale alla frequenza più alta del segnale originale (ovvero fmax).
Questo pertanto equivale a dire che V(t) è ricostruibile partendo da Vc(t) solamente quando fc è maggiore od al più uguale a 2fmax.
Tale ricostruzione avverrà quindi grazie ad un opportuno filtro passa-basso, in grado di eliminare tutte le frequenze spurie.

E' da osservare che il teorema è applicabile solamente al caso di segnali a banda limitata.
Infatti solamente in questo caso si può assicurare la completa separazione degli alias.
Invece, nel caso di segnali a banda illimitata, non esiste una fc sufficientemente elevata da evitare l'interferenza, dato che le armoniche di frequenza maggiore del segnale originale si sovrapporranno inevitabilmente.
Comunque generalmente lo spettro di ampiezza del segnale V(t) decresce velocemente con la frequenza e quindi il teorema del campionamento di Shannon continua a valere, seppure in modo approssimato.
Ricordiamo inoltre che tanto i segnali periodici quanto quelli aperiodici possono essere a banda limitata od illimitata.
Infine, accenniamo solamente al fatto che per dimostrare il teorema nel caso dei segnali aperiodici si utilizza la trasformata di Fourier.
Invece, nel caso di campionamento reale, la differenza rispetto al caso ideale consiste in un'attenuazione progressiva degli alias all'aumentare della frequenza, con legge sen(f)/f, che è la stessa funzione che descrive lo spettro di ampiezza del treno di impulsi rettangolari.