"Divertirsi con la matematica"
SOLUZIONI  AI  GIOCHI  PROPOSTI


(a cura di Stefano Pasotti e Fabio Priuli)

 

1) Il gatto e i topi

Il ragionamento che molti, sbagliando, potrebbero aver fatto: se un gatto e ½ mangiano un topo e ½ in un minuto e ½, allora un gatto mangia un topo in un minuto, con le relative conseguenze. L'errore consiste nel far variare anche il tempo insieme al numero di gatti e topi.
Il ragionamento corretto è: se un gatto e ½ mangiano un topo e ½ in un minuto e ½, allora un gatto mangia un topo in un minuto e ½. Allora un gatto mangia 20 topi in 30 minuti e quindi servono tre gatti.

 

2) Achille o la tartaruga?

Sì. Anche se devo sommare sempre nuove distanze un numero infinito di volte, le distanze sono sempre più piccole e, in alcuni casi, questo è sufficiente a garantire che la loro somma, anche se infinita, abbia un risultato finito. Se, per esempio, Achille concede alla tartaruga un vantaggio pari a 1 e la sua velocità è doppia di quella dell’animale, il primo tratto percorso dal paladino è pari a 1, il secondo a ½ , il terzo a ¼ , poi 1/8 , 1/16 e così via (sempre la metà del precedente)… Lo spazio totale necessario ad Achille per raggiungere la tartaruga, che chiamiamo QUI, è quindi:

Se moltiplichiamo entrambi i membri della precedente relazione per 2:

Quindi, considerando il primo e l’ultimo termine, portando QUI dal secondo al primo membro e cambiando di segno si ha:

da cui:

La somma, cioè, anche se infinita ha un risultato finito: Achille raggiunge la tartaruga dopo un tratto lungo 2 !

 

3) Un gatto in giro per il mondo

La risposta sì (se il gatto non è troppo grosso). Ricordiamo che la formula che lega circonferenza e raggio è:

si ricava che la differenza tra il raggio della seconda sfera, la cui circonferenza massima è più lunga di 1 m, e quello della terra:

 

4) Il tutto è piú grande di una sua parte

La semiretta e il segmento hanno lo stesso numero di punti.

 

5) Tiro al bersaglio

Per colpire la scimmia devo mirare orizzontalmente: infatti, sia il proiettile che la scimmia sono soggetti alla stessa accelerazione (di gravità) diretta verso il basso. Quindi, indipendentemente dalla massa o dalla velocità "orizzontale" cadono entrambi di uno stesso tratto in uno stesso tempo.

 

6) Una scommessa vincente

Calcoliamo la probabilità che nessuna data coincida: prendiamo il primo invitato e vediamo la sua data di nascita, poi prendiamone un secondo. La probabilità che questi abbia una data di nascita diversa dal precedente è 364/365. Prendiamo un terzo invitato: la probabilità che il suo compleanno non coincida con nessuno dei due già considerati è 363/365… e così via fino al quarantesimo invitato la cui probabilità di essere nato in un giorno diverso dai 39 precedenti vale 326/365. Ora questi numeri vanno moltiplicati tra loro per ottenere la probabilità che nessuna data di nascita coincida:

Quindi, la probabilità che almeno due invitati siano nati lo stesso giorno è:

E’ dunque conveniente fare una scommessa: la probabilità di vincere è decisamente alta!

P.S.: In effetti già con una festa di sole 24 persone si ha il 54% delle possibilità di vincere!

 

7) Problemi di capre

Il modo più semplice per cedere la soluzione, come spesso accade con problemi di probabilità, è elencare i casi possibili.
Supponiamo sia stata scelta la porta numero 1  (A = automobile, C = capra):

NON CAMBIANDO:

Porta 1 Porta 2 Porta 3 Esito
A C C Vittoria
C A C Sconfitta
C C A Sconfitta

CAMBIANDO:

Porta 1 Porta 2 Porta 3 Esito
A C C Sconfitta
C A C Vittoria
C C A Vittoria

Quindi, si hanno più possibilità di vincere cambiando porta che restando convinti della propria scelta.
Per convincere maggiormente, facciamo un esempio. Immaginiamo che, non appena il presentatore ha aperto una delle porte non vincenti, atterri un UFO da cui scenda un omino grigio. Senza che sappia quale porta è stata scelta in origine, si sente chiedere di sceglierne una delle due chiuse. La possibilità che, scegliendo casualmente, vinca il premio e non trovi la capra sono in questo caso del 50%. Ma questo solo perchè l'alieno non ha il vantaggio dell'aiuto del presentatore: se il premio è dietro la porta 2, il presentatore apre la 3 e viceversa. Quindi, cambiando la porta si vincerebbe sia nel caso in cui il premio fosse dietro la 2 che dietro la 3; non cambiando si vincerebbe solo se il premio fosse dietro la 1.

 

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